О выборе наиболее опасных сочетаний усилий при расчете железобетонных конструкций

М.Б.КРАКОВСКИЙ, д-р техн. наук, проф. (НПКТБ Оптимизация ЗАО)

Задача выбора наиболее опасных сочетаний усилий является важным этапом проектирования железобетонных конструкций и состоит в следующем.

Обычно при расчете железобетонных конструкций вначале вычисляют усилия, а затем проводят проверку или подбор арматуры. Усилия, как правило, определяют от нескольких загружений, возникающих от действия постоянных, длительных, кратковременных или особых нагрузок. Некоторые сочетания загружений являются допустимыми (т.е. загружения могут действовать одновременно), другие сочетания недопустимы (например, одновременное действие ветра справа и слева на сооружение). При каждом загружении в сечениях конструкций возникают усилия. Сочетания усилий, как и сочетания загружений, могут быть допустимыми или недопустимыми. В допустимых сочетаниях усилия складывают с учетом коэффициентов сочетаний [1].

Проверка или подбор арматуры на действие всех возможных допустимых сочетаний усилий в каждом сечении представляет собой весьма трудоемкую, а иногда и просто неразрешимую задачу. Поэтому для расчета оставляют только наиболее опасные сочетания усилий, а заведомо менее опасные заранее отбрасывают.

В статье проанализированы существующие методики выбора наиболее опасных сочетаний усилий при расчете железобетонных конструкций и даны предложения по их совершенствованию.

При «ручном» счете в случае действия на нормальные сечения продольных сил N и моментов Mx, My в двух взаимно перпендикулярных плоскостях поступали следующим образом [2]. Для проверки или подбора арматуры оставляли шесть сочетаний усилий. Каждое сочетание состояло из максимального или минимального значения одного из усилий и соответствующих значений двух других усилий:

Современные программные комплексы, ведущие расчет железобетонных конструкций на основе метода конечных элементов, стали использовать другие критерии отбора наиболее опасных сочетаний усилий, например, методику [3]. Для простоты будем рассматривать стержневые элементы прямоугольного сечения, на которые действуют следующие усилия: продольная сила N, изгибающий момент M, поперечная сила Q.

Методика [3] основана на следующих трех положениях.

Положение 1. Для каждого сочетания усилий (N, M, Q) по формуле сопротивления материалов определяют нормальные напряжения на верхней sв и на нижней sн гранях сечения:

где F,w – соответственно площадь и момент сопротивления сечения.

Вводят следующие обозначения: sв+, sв-, sн+, sн-, N+, N-, Q+, Q-. Здесь sв+, sв- обозначают те сочетания усилий, которые дают максимальное (со знаком плюс) и минимальное (со знаком минус) нормальные напряжения на верхней грани; N+, N- обозначают сочетания усилий, имеющие максимальное (со знаком плюс) и минимальное (со знаком минус) значение продольной силы и т.п.

При сравнении сочетаний усилий (N1, M1, Q1) и (N2, M2, Q2) второе сочетание можно не рассматривать, если выполняются следующие условия:

- знаки величин sв, sн, N, Q в обоих сочетаниях попарно одинаковы;

- модули тех же величин во втором сочетании не превосходят модулей соответствующих величин в первом сочетании.

Таким образом, для проверки или подбора арматуры в рассматриваемом случае оставляют не более восьми сочетаний усилий, обозначенных sв+, sв-, sн+, sн-, N+, N-, Q+, Q-.

Положение 2. Для учета длительности действия нагрузки формируются две внутренние группы РСУ (расчетных сочетаний усилий). Группа А включает только сочетания от нагрузок большой суммарной длительности (собственный вес, вес оборудования), группа В – сочетания, возникающие от нагрузок большой и малой суммарной длительности. При подборе арматуры на усилия, возникающие от сочетаний, входящих в каждую из групп, используют различные значения коэффициента условий работы бетона gb2- [4, 5].

Положение 3. Наиболее опасные расчетные сочетания усилий определяют от расчетных нагрузок с коэффициентами надежности по нагрузке, большими единицы, для расчетов как по первому, так и по второму предельным состояниям.

Естественно считать, что при подборе арматуры наиболее опасными будут сочетания, дающие максимальное армирование. Покажем на простых и легко проверяемых примерах, что при использовании описанной методики наиболее опасные сочетания могут быть пропущены, а это идет не в запас прочности, жесткости и трещиностойкости. В [6] показано, что современные программные комплексы при расчетах железобетонных конструкций иногда дают решения, не соответствующие действующим нормативным документам. Поэтому методику [3] мы будем использовать только для выбора сочетаний усилий, а непосредственные расчеты железобетонных конструкций будем проводить по программе «ОМ СНиП Железобетон» [6. 7] и Пособию [8].

Будем различать следующие случаи.

1. Расчет прочности нормальных сечений. Выбор сочетаний усилий в группе А. Рассмотрим прямоугольный внецентренно сжатый элемент длиной 1 м с симметричным армированием, рассчитываемый по [4]. Малая длина элемента взята, чтобы исключить влияние продольного изгиба. Размеры сечения элемента 40?60 см. Бетон класса В35, арматура класса А-III. Вдоль каждой короткой стороны элемента расположены по 3 продольных стержня, a=a'=4 см. Сравним два сочетания усилий: (N1 = 100 тс, M1 = 30 тсм) и (N2 = 20 тс, M2 = 21.9 тсм).

Для рассматриваемого сечения F = 2400 см2, w = 24000 см3. По формуле (2) определим напряжения (в кгс/см2) для первого и второго сочетания усилий

Таким образом, сочетания sв-, sн+, N- отсутствуют, а каждому из оставшихся сочетаний sв+, sн-, N+ соответствует первое сочетание, и, по [3], второе сочетание рассматривать не нужно.

Между тем расчеты показывают, что теоретические площади каждого стержня арматуры при первом и втором сочетаниях равны соответственно 1.29 и 2.86 см2, т.е. при использовании методики [3] получают площадь сечения арматуры в 2.2 раза меньше требуемой. Приведенный результат легко проверить «вручную» по формулам (65), (66), (67) СНиП [4], зная высоты сжатой зоны бетона. Для первого и второго сочетаний эти высоты равны соответственно 14.2 и 3.6 см

При расчете по СП [5] определяют непосредственно диаметры арматурных стержней. Здесь получен совершенно аналогичный результат. Диаметр каждого стержня при первом и втором сочетании составляет соответственно 14 и 20 мм, т.е. при использовании методики [3] вместо требуемой арматуры диаметром 20 мм, будет поставлена арматура диаметром 14 мм.

При увеличении класса бетона отношение теоретических площадей арматуры, полученных при действии второго и первого сочетаний, увеличивается. В случае расчетов по СНиП [4] при классе бетона В60 это отношение составляет 3.75, т.е. при использовании методики [3] получают площадь сечения арматуры в 3.75 раза меньше требуемой.

Рассмотрим еще один пример. Армирование определим по графику Приложения 3 [8]. Проведем расчет рассмотренного выше внецентренно сжатого железобетонного элемента при гибкости l = 10. На элемент действуют три сочетания усилий:

По графику для указанных трех сочетаний характеристика армирования равна соответственно 0.55; 0.50, 0.51. Здесь:

Напряжения по формуле (2) определяют следующим образом:

Тогда для трех рассмотренных сочетаний напряжения имеют следующие значения (в кгс/см2):

Как видно, сочетания sв-, sн-, N- отсутствуют. Сочетанию sв+ соответствует сочетание 3, а сочетаниям sн+, N+ соответствует сочетание 2. Таким образом, и здесь наиболее опасное сочетание 1, дающее максимальное армирование (as = 0.55), согласно методике [3], из рассмотрения исключается. Полученное армирование оказывается меньше требуемого.

2. Расчет прочности нормальных сечений. Выбор сочетаний усилий в группе В. При выборе наиболее опасных сочетаний усилий, кроме ситуаций, рассмотренных для случая 1, необходимо иметь в виду следующие дополнительные обстоятельства. По [3], при выборе наиболее опасных сочетаний учитывают только усилия от полной нагрузки, а усилия от постоянных и длительно действующих нагрузок не выделяют. Между тем при сравнении двух сочетаний более опасным может оказаться сочетание с меньшими значениями усилий от полной нагрузки и с большими значениями от постоянных и длительных нагрузок.

Рассмотрим пример. Подберем арматуру во внецентренно сжатом прямоугольном железобетонном элементе из тяжелого бетона с гибкостью l = 25. Используем графики Приложения 3 [8]. На элемент действуют два сочетания усилий:

Здесь an, am определяют по формулам (3), а коэффициент k представляет собой отношение:k = M1l/M1, где M1l, M1 - моменты внешних сил соответственно от действия постоянных и длительных нагрузок и от действия полной нагрузки (п. 3.54 [8]).

Согласно [3], арматуру подбирают только на первое сочетание усилий, в котором больше продольная сила. Между тем, по графикам Приложения 3 [8], для первого и второго сочетаний характеристики армирования (3) соответственно равны: as1 = 0.2; as2 = 0.25. Таким образом, по методике [3], получают армирование в 1.25 раза меньше требуемого.

3. Расчет прочности нормальных сечений. Сравнение сочетаний усилий в группах А и В. Согласно [3], сочетания усилий в группах А и В не сравнивают. Между тем такое сравнение в некоторых случаях позволяет не рассматривать заведомо неопасные сочетания усилий и тем самым сократить время счета.

Приведем пример. Рассмотрим изгибаемый железобетонный элемент с двумя сочетаниями усилий М1 и М2, которые относятся соответственно к группам А и В. Если М1 > М2, то момент М2 из рассмотрения нужно исключить: для большего момента М1 прочность бетона оказывается меньше (gb2=0.9), а потому и арматуры потребуется больше. Для внецентренно сжатых элементов необходимо учитывать отдельно усилия как от полной нагрузки, так и от постоянных и длительно действующих нагрузок.

4. Расчет трещиностойкости нормальных сечений. Выбор сочетаний усилий в группе А. Согласно сформулированному выше Положению 3, в [3] при выборе наиболее опасных сочетаний усилий учитывают только нагрузки с коэффициентом надежности по нагрузке, большим единицы. Между тем при расчете железобетонных конструкций по второму предельному состоянию необходимо учитывать усилия от нагрузок с коэффициентом надежности по нагрузке, равным единице. Это может существенно повлиять на результаты расчетов.

В качестве примера рассмотрим изгибаемый железобетонный элемент прямоугольного сечения с размерами 30?60 см. Элемент изготовлен из тяжелого бетона класса В15 естественного твердения и армирован двумя стержнями из арматуры класса А-III, а = 4 см. На элемент действуют два сочетания усилий М1 = 12.0 и М2 = 11.5 тсм при коэффициентах надежности по нагрузке соответственно равных 1.3 и 1.1. Требуется подобрать диаметры стержней из условий трещиностойкости так, чтобы ширина раскрытия нормальных трещин не превышала 0.3 мм.

Как следует из вышеизложенного, по [3], нужно проводить расчет только для момента М1, а момент М2 можно не рассматривать. В расчетах по прочности нормальных сечений это оправдано: при действии моментов М1 и М2 диаметр каждого стержня оказывается соответственно равным 22 и 20 мм. Однако в расчетах на трещиностойкость результаты оказываются другими.

При коэффициентах надежности по нагрузке, равных единице М1 = 12/1.3 = 9.23; М2 = 11.5/1.1 = 10.45 тсм.

Расчеты по СНиП [4] на основе программы «ОМ СНиП Железобетон» показывают, что при значениях моментов М1 и М2, приведенных в (4), диаметр каждого стержня равен соответственно 22 и 25 мм. Таким образом, по [3], вместо стержней диаметром 25 мм будут поставлены стержни диаметром 22 мм, площадь сечения которых в 1.29 раза меньше требуемой.

В точности те же результаты получены и по СП [5].

Отсюда следует, что при расчетах по второму предельному состоянию выбор наиболее опасных сочетаний необходимо проводить для усилий, полученных при значениях нагрузок с коэффициентами надежности, равными единице.

5. Расчет трещиностойкости нормальных сечений. Выбор сочетаний усилий в группе В. Как и при расчете прочности, по [3], при выборе наиболее опасных сочетаний учитывают только усилия от полной нагрузки, а усилия от постоянных и длительно действующих нагрузок не выделяют. Между тем при сравнении двух сочетаний более опасным может оказаться сочетание с меньшими значениями усилий от полной нагрузки и с большими значениями от постоянных и длительных нагрузок.

Для примера рассмотрим тот же изгибаемый железобетонный элемент, что и в предыдущем случае. На элемент действуют два сочетания усилий: от полной нагрузки М1 = 12.0 и М2 = 11.5 тсм; от постоянной и длительной нагрузки соответственно М1дл = 5.0 и М1дл = 10.5 тсм. Коэффициент надежности по нагрузке в обоих случаях равен 1.15.

По [3], сравнивают только сочетания от полной нагрузки при коэффициенте надежности, большем единицы. Поскольку М1 = 12.0 > М2 = 11.5, сочетание М2 из рассмотрения исключают.

При коэффициенте надежности по нагрузке, равном единице М1 = 10.43, М2 = 10.0, М1дл = 4.35, М2дл = = 9.13 тсм. При расчетах элемента на эти усилия по СНиП [4] с помощью программы «ОМ СНиП Железобетон» оказывается, что при действии сочетаний М1 и М2 диаметр каждого стержня должен быть равен соответственно 20 и 22 мм, т.е. по [3], будет принят диаметр 20 мм вместо требуемого диаметра 22 мм.

Те же результаты получены и по СП [5] при двухлинейной диаграмме состояния бетона. При трехлинейной диаграмме оказывается, что, по [3], необходимо принять диаметр каждого стержня равным 18 мм вместо 22 мм, т.е. площадь поперечного сечения стержней оказывается в 1.49 раза меньше требуемой.

Таким образом, как и в случае расчета нормальных сечений по прочности, при сравнении сочетаний необходимо учитывать усилия не только от полной нагрузки, но и от постоянной и длительной нагрузок.

6. Расчет трещиностойкости нормальных сечений. Сравнение сочетаний усилий в группах А и В. Как и при расчете прочности, целесообразно сравнивать сочетания из двух групп с учетом усилий не только от полной нагрузки, но также от постоянных и длительных нагрузок. Коэффициент надежности по нагрузке необходимо принимать равным единице. Это позволит не рассматривать заведомо неопасные сочетания.

7. Расчет прочности наклонных сечений. Выбор сочетаний усилий в группах А и В. В современных программных комплексах расчет наклонных сечений ведут отдельно для каждого конечного элемента. Это не соответствует действующим нормативным документам. При расчете наклонных сечений по СНиП [4] необходимо отыскивать длины проекций наиболее опасного наклонного сечения и наиболее опасной наклонной трещины, а при расчете по СП [5] необходимо знать длину проекции наиболее опасного наклонного сечения. В одном конечном элементе определить указанные величины невозможно. Поэтому в программе «ОМ СНиП Железобетон» расчет наклонных сечений ведут для конструктивных элементов, в которые входят несколько конечных элементов. Это требует и другого подхода к выбору наиболее опасных сочетаний усилий.

В конструктивном элементе рассматривают не одно значение поперечной силы Q, как в [3], а эпюру поперечных сил от опорного сечения до последней нулевой точки. Сравним две эпюры (Q11, Q12, ... ,Q1n) и (Q21, Q22, ... ,Q2m), где первый и второй индексы обозначают соответственно номера эпюр и сечений, а Q1n = Q2m = 0. Каждая из эпюр представляет собой сочетание усилий от нескольких загружений с учетом соответствующих коэффициентов сочетаний [1]. Вторая эпюра является менее опасной, если одновременно выполняются следующие условия:

- число сечений до последней нулевой точки во второй эпюре не больше, чем в первой, т.е. m<=n;

- в каждом сечении i, в котором Q1i != 0 и Q2i != 0, выполняется неравенство |Q2i| <= |Q1i|;

- если в сечении i величина Q1i = 0, то и Q2i = 0;

- для второй эпюры произведение коэффициентов условий работы бетона не превышает соответствующего произведения для первой эпюры; аналогичное условие выполняется и для коэффициентов условий работы арматуры;

- при расчетах по СНиП [4] N2max <= N1max, где N1max, N2max максимальные значения продольных сил, соответствующих первой и второй эпюрам, по всем сечениям (положительное значение продольной силы считается растягивающим); методика расчета наклонных сечений в СП [5] не учитывает продольную силу, и поэтому условие N2max <= N1max нужно исключить.

Пример эпюр поперечных сил при выборе наиболее опасных сочетаний усилий для расчета прочности наклонных сечений

Для примера на рисунке показаны три эпюры поперечных сил для конструктивного элемента. Эпюра 2 является менее опасной, чем эпюры 1 и 3, и поэтому из рассмотрения исключается, а обе эпюры 1 и 3 необходимо оставить для расчетов. Предполагается, конечно, что выполняются соответствующе требования для продольных сил и коэффициентов условий работы материалов.

8. Расчет трещиностойкости наклонных сечений и деформативности. Большинство современных программных комплексов не выполняют расчета трещиностойкости наклонных сечений и деформативности железобетонных элементов с учетом появления и развития трещин. Поэтому и процедура выбора наиболее опасных сочетаний усилий для этих расчетов не разработана.

В программе «ОМ СНиП Железобетон» указанные расчеты выполняются, и разработаны соответствующие процедуры выбора наиболее опасных сочетаний усилий. При сравнении рассматриваются эпюры моментов и поперечных сил от действия нагрузок с коэффициентами надежности по нагрузке, равными единице.

Выводы

1. На конкретных примерах проанализированы существующие методы выбора наиболее опасных сочетаний усилий при расчете железобетонных конструкций.

2. Показано, что применяемые методы не учитывают особенностей железобетонных конструкций и в общем случае идут не в запас прочности, жесткости и трещиностойкости: наиболее опасные сочетания усилий пропускаются. Получаемая площадь сечения арматуры может оказаться в несколько раз меньше требуемой.

3. Разделение сочетаний усилий на две группы А и В не решает задачи учета длительности действия нагрузок. При выборе наиболее опасных сочетаний усилий для расчета прочности внецентренно сжатых элементов, а также трещиностойкости и деформативности любых элементов необходимо сравнивать усилия не только от полной нагрузки, но также от постоянной и длительной нагрузок.

4. При выборе наиболее опасных сочетаний усилий для расчета трещиностойкости и деформативности необходимо учитывать усилия от нагрузок с коэффициентом надежности по нагрузке, равным единице.

5. Предложена методика, выбирающая сочетания усилий, при которых армирование оказывается максимальным. Сформулированы различные критерии выбора наиболее опасных сочетаний для каждого из расчетов – прочности, трещиностойкости нормальных и наклонных сечений, деформативности. Методика реализована в программе «ОМ СНиП Железобетон».

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. СНиП 2.01.07-85* Нагрузки и воздействия . – М., 2003, с. 42.

2. Голышев А.Б., Бачинский В.Я., Полищук В.П. и др. Проектирование бетонных и железобетонных конструкций. Справочное пособие. – Киев, «Будивэльнык», 1990, с. 543.

3. Программный комплекс Structure CAD. Руководство пользователя. – Киев. Научн-производственное предприятие «ТОПАЗ-ИНФОРМ», 1996, с. 434.

4. СНиП 2.03.01-84* Бетонные и железобетонные конструкции / Госстрой СССР. – М., 1989, с.77.

5. СП 52-101-2003 Бетонные и железобетонные конструкции без предварительного напряжения арматуры. М., 2004, с. 53.

6. Краковский М.Б. Программа «ОМ СНиП Железобетон» для расчета железобетонных конструкций на ЭВМ // Бетон и железобетон. – 2001. № 2. – с. 9-12.

8. Пособие по проектированию бетонных и железобетонных конструкций из тяжелых и легких бетонов без предварительного напряжения арматуры (к СНиП 2.03.01-84) / ЦНИИПромзданий, НИИЖБ. – М., Стройиздат, 1986, с. 192.