Согласно сложившемуся в настоящее время представлению о природе потери устойчивости стержневых систем, причиной того, что стержневые элементы конструкций теряют устойчивость при продольных усилиях меньших, чем это предсказывает теория Эйлера, является наличие малых начальных случайных искривлений и эксцентриситетов при прикреплении стержней. Поэтому, даже если стержень центрально сжат, в нем возникают изгибающие моменты и, если фибровые напряжения в какой-то момент превышают предел текучести материала, процесс потери устойчивости начинает развиваться с катастрофической скоростью. Если предположить, что начальное искривление меняется по синусоидальному закону, нетрудно получить формулу для предельного значения сжимающей силы, при которой в крайней фибре стержня появляется расчетное напряжение R_y

(1)

где A - площадь поперечного сечения стержня, а φ - коэффициент, вычисляемый по формуле

(2)

где - относительный начальный эксцентриситет и - приведенная гибкость стержня, y₀ - стрела погиби стержня, W - момент сопротивления сечения.

Таким образом, если бы был известен предельный начальный эксцентриситет стержня, по формуле (1) можно было бы вычислить предельное значение продольной силы, не превышение которой гарантирует отсутствие пластических деформаций. В европейских (Eurocode 3), американских, израильских и других нормах для вычисления коэффициента φ используется непосредственно формула (2). Разница состоит только в нормировании эксцентриситета. Как правило, принимается линейная зависимость эксцентриситета от гибкости

где коэффициент a зависит от типа сечения и расчетного сопротивления.

В российских нормах (СНиП II-23-81) нормируется непосредственно коэффициент φ:

где .

Однако, насколько бы ни была сложная зависимость , всегда можно, обратив формулу (2), получить зависимость для

(3)

Этот факт дает возможность проверить устойчивость стержневой конструкции следующим образом - введем в стержни погиби, амплитуды которых определены формулой (3), и рассчитаем конструкцию по деформированной схеме (расчет по деформированной схеме необходим, поскольку величина погиби существенно зависит от продольной силы).

Основная проблема при этом состоит в задании направлений погибей для различных стержней. В программе эта проблема решается следующим образом:

Построенная таким образом конфигурация погибей не гарантирует наихудшее с точки зрения напряжений состояние конструкции. Поэтому программа делает еще один расчет по деформированной схеме с обратным направлением погибей по отношению к определенным на предыдущей стадии. Затем программа выполняет серию расчетов по деформированной схеме (число расчетов определяет пользователь), генерируя знаки и значения амплитуд погибей случайным образом. Величина погиби (эксцентриситета) формируется как случайная величина, распределенная по нормальному закону в интервале [0,X] (X - предельное значение погиби или эксцентриситета, определяемые в соответствии с изложенной выше методикой для каждого стержня в отдельности) с центром в точке X/2 и стандартом X/5 (величина стандарта X/5 выбрана произвольно - исследования показали, что результат мало зависит от величины стандарта). В результате для сформированной выборки программа вычисляет для каждого стержня математическое ожидание (среднее значение по выборке) напряжения от продольной силы, математические ожидания и стандарты отклонения верхнего и нижнего фибровых напряжений, максимальные и минимальные значения верхнего и нижнего фибровых напряжений. В программе также предусмотрен режим, позволяющий получить верхние и нижние фибровые напряжений в стержнях с вероятностью превышения 95%, 99% и 99.9%.

Создание норм расчета стержней на устойчивость всегда базировалось на экспериментах, в которых в подавляющем большинстве случаев испытанию подвергались стержни, закрепленные по шарнирно опертой схеме. Распространение теории на более сложные прикрепления стержней осуществлялось по теории так называемого 'эквивалентного' стержня. То есть, каждому конкретному стержню ставился в соответствие шарнирно опертый стержень того же сечения, длина которого подбиралась таким образом, чтобы оба стержня теряли устойчивость при одном и том же значении сжимающей силы. Длина такого эквивалентного стержня называлась 'расчетной длиной'. К сожалению, следует признать, что у такого подхода к решению проблемы устойчивости стержневых конструкций нет никакого ясного теоретического обоснования. Происхождение такого подхода связано с тем, что создатели норм просто вынуждены были предложить хоть какую-то методику расчета стержневых конструкций, в результате чего и появился данный эвристический метод. Учитывая уровень развития вычислительной техники, современный созданию норм, это, по-видимому, была единственная возможность подойти к решению данной проблемы. Однако, фактически, одна трудно разрешимая проблема проверки устойчивости стержней была заменена другой не менее сложной - определением эквивалентных (расчетных) длин стержней. Все расчетчики знают, какие возникают сложности при определении расчетных длин элементов сложных стержневых конструкций. Фактически достоверно можно предсказать расчетную длину только для отдельного (не включенного в конструкцию) стержня (вообще, говорить о потере устойчивости отдельного стержня, принадлежащего какой-то конструкции бессмысленно, поскольку конструкция теряет устойчивость целиком). Таким образом, не вполне ясная научная теория подкреплялась еще менее ясным практическим методом.

Чем же можно объяснить столь широкое распространение данной методики? Во-первых, отсутствием альтернативы. Во-вторых, виртуозным умением проектировщиков трактовать нормы в свою пользу, обеспечивая необходимую надежность работы конструкций. В настоящее время, как уже было сказано выше, сложилось ясное представление о природе потери устойчивости стержней - причиной 'преждевременной ' потери устойчивости являются начальные несовершенства. Все экспериментальные данные по проверке устойчивости стержней прекрасно ложатся на теоретические кривые, в основе которых лежит появление (вернее не появление) пластических деформаций в сечении стержня, вызванных начальными несовершенствами. Поскольку начальные несовершенства носят случайный характер, вряд ли можно предложить более удачный метод проверки устойчивости, чем статистическое моделирование. К счастью у нас всегда есть возможность восстановить предельные значения величин начальных погибей и эксцентриситетов по данным заложенным в нормы проектирования. Это обеспечивает преемственную связь между существующим и предлагаемым методом.

Отметим, что такие подходы к решению сложных математических проблем отнюдь не новы. Так, например, в генетических исследованиях для проверки гипотез широко используются так называемые Permutation test и Bootstrap test, в основе которых лежит статистическое моделирование огромных объемов информации. Для современных компьютеров нет никакой проблемы 50-100 раз пересчитать конструкцию среднего размера, задавая каждый раз различные распределения амплитуд погибей стержневых элементов.

Чтобы оценить насколько результаты статистического метода расчета корреспондируются с методикой расчета по 'эквивалентному стержню' произведем расчет стержня двутаврового сечения длиной L=10 м, имеющего разные схемы закрепления.

(размеры даны в мм).

Характеристики материала: E=2.1·10⁷ т/м2, R_y=28500 т/м². Изгиб относительно оси z. Радиус инерции сечения i_z=0.3274 м.

Ниже в таблице 1. напротив каждой расчетной схемы даны значения коэффициента свободной длины m, гибкости l = mL/i_z, коэффициента φ, рассчитанного в соответствии со СНиП II-23-81, и значения критической силы N=jAR_y (значение критической силы вычислялось без учета коэффициента условий работы).

N	Схема закрепления	Коэф. m	Гибкость l	Коэф.f	Критич. cила N (т)
1		1	30.54	0.922	740
2		0.699	21.35	0.954	766
3		2	61.08	0.778	625
4		0.5	15.27	0.977	784

Далее была произведена проверка устойчивости каждого из этих стержней по программе. При этом каждый из стержней загружался соответствующей продольной силой. Проверка состояла в следующем - если результаты расчета по обеим теориям совпадают, то расчет по программе для каждой из схем должен дать напряжение в крайней фибре равное R_y.

В таблице 2. даны значения отношения σ_фибр/R_y c вероятностью превышения 95%, 99% и 99.9% для прикрепления по схеме без сопряжения углов поворота.

N	Эпюра моментов	σфибр/Ry
		95%	99%	99.9%
1		0.972	0.980	1.000
2		1.000	1.000	1.002
3		0.832	0.841	0.8521
4		1.000	1.002	1.006

В таблице 3. даны значения отношения σ_фибр/R_y c вероятностью превышения 95%, 99% и 99.9% для прикрепления по схеме с сопряжением углов поворота.

N	Эпюра моментов	σфибр/Ry
		95%	99%	99.9%
1		0.972	0.980	1.000
2		1.282	1.326	1.386
3		0.959	0.985	1.017
4		1.189	1.218	1.253

(наличие ненулевых изгибающих моментов в местах шарнирного прикрепления стержней объясняется тем, что программа учитывает не только начальные погиби стержней, но и эксцентриситеты их прикрепления).

Как и следовало ожидать, расчет по схеме с сопряжением углов поворота дает более высокий уровень напряжений. Это объясняется тем, что при сопряжении углов поворота в конструкции возникают дополнительные внутренние напряжения. Расчеты по схеме без сопряжения углов поворота в основном дают значения параметра σ_фибр/R_y очень близкое к 1, что указывает на достаточно хорошее совпадение результатов статистической теории и теории эквивалентного стержня. Исключение составляет только случай закрепления по консольной схеме. Однако, в этом случае правильнее сопоставлять результаты теории эквивалентного стержня с расчетом по схеме с сопряжением углов поворота (при прикреплении по схеме без сопряжения углов поворота консоль имеет в точке заделки угол поворота, соответствующий начальной погиби). В этом случае параметр σ_фибр/R_y