СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА И РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ   ISSN 0039-2383            №2  2017,  с.44-51

УДК 624.044

УРАВНЕНИЯ ДЕФОРМАЦИИ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО

 ПРОФИЛЯ С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИИ СДВИГА

Е.И.Бритвин, канд. физ.-мат. наук

В работе [1] автором был предложен метод формирования матрицы жесткости узла сочленения тонкостенных стержней. Узел рассматривается как одноточечный элемент с 6+n степенями свободы (n -  число подходящих к узлу стержней). Реакции, соответствующие смещениям и поворотам формируются обычным путем – накоплением реакций отдельных стержней, рассчитанных аналитическим путем. Для вычисления компонент, соответствующих депланационным степеням свободы, строится конечно-элементная модель узла. Формируются компоненты матрицы жесткости, соответствующие единичным смещениям свободных концов подходящих к узлу стержней. После чего, процедурой последовательного “укорочения” стержней (процедура подробно описана в [1]), вычисляются все недостающие реакции от единичных смещений n депланационных степеней свободы. “Тонким местом” предложенной методики явилось то, что окончательное решение получалось путем экстраполяции последовательности таких “укорочений” к состоянию, соответствующему нулевой длине подходящих к узлу стержней. При этом оказалось, что если конечно-элементная модель не вполне адекватна аналитической (“укорочение” происходит путем аналитических построений), то при приближении длин стержней к нулю, решение начинало расходиться. С другой стороны, как показали исследования, если изначально сформировать матрицу жесткости, соответствующую единичным смещениям свободных концов стержней на основе аналитических решений, вводя в узел произвольные значения депланационных компонент (матрица формируется путем исключения реакций центрального узла), то процедура [1] возвращает точные значения заложенных депланационных компонент. Несмотря на то, что во многих случаях достаточно было взять решение вблизи “нуля”, актуальность проблемы соответствия аналитической и экспериментальной моделей очевидна.

Как показал анализ [2], главным источником расхождения моделей является влияние деформации сдвига. Так, например, для двутавра  ГОСТ 26029-83 26К1 длиной 200 см расхождение в отдельных компонентах матрицы жесткости конечно-элементной и аналитической модели без учета деформации сдвига от поперечных сил, достигала 43%. Учет деформации сдвига позволил снизить максимальную разницу между компонентами матриц до 1.3%. В то же время максимальная разница между двумя моделями в компонентах, соответствующих кручению и депланации оставалась недопустимо высокой – более 7%. Таким образом, проблема влияния деформации сдвига для данной задачи оказалась чрезвычайно актуальной. Можно указать целый ряд работ, посвященных проблеме учета влияния деформации сдвига на работу тонкостенных стержней. Сошлемся на работы [4]-[8]. Общим для всех этих работ является то, что для построения разрешающих уравнений формируется функционал энергии и затем, используя уравнения Лагранжа, формируется искомая система уравнений. Следует отметить, что не всегда проведенный анализ оказывается вполне корректным. Так, в работах [6], [8] уравнения состояния, связывающие силовые факторы с деформациями, принимались на основе бессдвиговой теории, что не вполне корректно.  В других случаях уравнения получаются столь сложными, что приходится ограничиваться частными решениями (Полусдвиговая теория тонкостенных стержней [7]).

В настоящей работе, следуя алгоритму основателя теории тонкостенных стержней Власова В.З., будет получена система дифференциальных уравнения деформации тонкостенных стержней открытого профиля с учетом деформации. На численных примерах будет продемонстрировано хорошее совпадение получаемых решений с экспериментом, а также будет показано, что полученные уравнения описывают некоторые эффекты, невозможные с точки зрения стандартной теории. Вывод во многом повторяет первоисточник [3]. Тем не менее, мы его проделаем целиком (в сжатой форме), чтобы полученный результат не вызывал вопросов.

Представим деформацию сечения в плоскости XY с продольной координатой z как сумму поступательного перемещения и поворота сечения как твердого тела вокруг некоторого центра в точке A на угол  (Рис. 1). Тогда перемещение точки, расположенной на срединной поверхности сечения с координатами (x,y,z) можно представить следующим образом

.                                                                (1)

Выберем на контуре сечения произвольную точку O и введем дуговую координату точки (x,y,z), лежащей на срединной поверхности сечения s – расстояние до точки O вдоль дуги сечения. Перемещение точки вдоль касательной к срединной поверхности равно

.                                                                                   (2)

Деформация сдвига в плоскости оболочки связана с равномерным по ее толщине касательным напряжением соотношением

,                                                                                  (3)

где t₁ - касательные напряжения в элементах сечения, образовавшиеся в результате действия перерезывающих сил и стесненного кручения. Напряжение t₁  складывается из трех компонент:

,                                              (4)

где Q_x, Q_y и M_w - значения перерезывающих сил и крутящий момент, ответственный за депланацию, а и  - эпюры касательных напряжений от соответствующих единичных факторов. Учитывая, что  и , где  и t – толщина оболочки, имеем

.                                             (5)

(во избежание путаницы, мы снабдили моменты S_.. и J_.. индексами, соответствующими их подынтегральным выражениям). Подставляя (1) в (2) и (2) в (3), после интегрирования по s, получаем

где b – значение координаты s в некоторой произвольной точке B, а штрихом обозначено дифференцирование по переменной z. Очевидно,  и , где  - радиус-вектор точки B,  - единичный вектор вдоль оси z и w_a – секториальная координата точки контура сечения с началом отсчета в точке B, вычисленная относительно центра, расположенного в точке A. Не ограничивая общности, выберем точки A и B  таким образом, чтобы выполнялись условия ,  и . В результате выражение для продольных перемещений приобретает вид

,

где x(z), h(z) и z(z) – перемещения точек, лежащих на оси, проходящей через точку А соответственно вдоль осей x, y и z. А x(s) и y(s) – декартовы координаты точки сечения в главных осях. Последнее слагаемое в этой сумме записано как неопределенный интеграл, поскольку перемещение u(z,s) определено с точностью до аддитивной постоянной.

Поскольку мы предполагаем, что напряжения вдоль образующей оболочки (в направлении координаты s) и в направлении, перпендикулярном поверхности оболочки равны нулю, нормальные напряжения в сечении определяются выражением . Откуда имеем

                                  (6)

Подставляя выражение (6) в уравнение равновесия  и интегрируя по s, получаем

                                     (7)

Запишем выражения для силовых факторов и депланации (депланацию будем обозначать буквой d):

Здесь в выражениях, содержащих произведение t(s)t(s) выполнено интегрирование по частям и, поскольку мы предполагаем, что касательное напряжение на торцах оболочки отсутствуют, первое слагаемое после интегрирования по частям обращается в 0. Подставляя в эти выражения (6) и, получаем

Двойные интегралы в этих выражениях преобразуем интегрированием по частям и, учитывая выражения (5), имеем

           (8)

Введем обозначение  - коэффициенты сдвига (F – площадь сечения, а индексы s и k могут пробегать значения x, y и w).  Очевидно, k_sk=k_ks. Если сечение обладает симметрией относительно плоскости x=0, то эпюры   и  симметричны относительно этой плоскости, а эпюра   кососимметрична и, следовательно, в этом случае k_xy=k_yx=0 и k_yw=k_wy=0. Аналогично, при симметрии относительно плоскости y=0, имеем k_xy=k_yx=0 и k_xw=k_wx=0. В таблице 1 приведены формулы для вычисления коэффициентов сдвига двутавра и швеллера.

Таблица 1

Теперь выражения для силовых факторов и депланации можно переписать следующим образом

                                           (9)

Как видно, справедливы все основные соотношения:

                                             (10)

Учитывая, что  и , из (9) получаем

                                       (11а)

К этой системе уравнений надо добавить уравнение, связывающее полный момент кручения M_z с моментами свободного и стесненного кручения. Т.е.

,                                                                                 (11b)

где .

Рассмотрим один частный, но важный случай -  и . Исключая из четвертого уравнения (11а) и уравнения (11b) переменную θ, получаем

Его решение - , где M_w0 и M_wl – значения момента M_w в начале и конце стержня. Подставив это решение в (11b) и интегрируя его, получаем

,  (12)

где q₀ и q_l – значения угла закручивания в начале и конце стержня.

Депланацию стержня вычислим по последней формуле (9). Имеем

.          (13)

Из формул (11b) и (10) находим выражения для момента кручения и бимомента:

                                           (14)

Формулы (12) и (13) дают возможность выразить параметры M_w0 и M_wl через начальные и конечные значения переменных q и d - q₀, d₀, q_l, d_l:

(15)

где . Это позволяет сделать функции q(z), d(z), M_z(z) и B_w(z) зависимыми исключительно от этих четырех параметров.

В работе [2] было показано, что в тонкостенных стержнях несимметричного сечения при смещении или повороте его концов (без кручения) возникает депланация. Изложенный выше материал дает более строгое описание этого эффекта. Полагая в формулах (12), (13), (14) q₀=q_l=0, d₀=d_l=0 и k_wx≠0, k_wy=0 (симметрия относительно плоскости x=0), получаем

                           (16)

В таблице 2 приведены кривые угла поворота, депланации и бимомента, возникающие в несимметричном двутавре от единичного поперечного смещения левого конца (твутавр получен из симметричного двутавра ГОСТ 26029-83 26К1 путем укорочения нижней полки в 2 раза; длина двутара – 200 см). Экспериментальные кривые получены на основе расчета соответствующей конечно-элементной модели. Численные значения кривых были рассчитаны путем проведения поперечных сечений и вычисления в их плоскости соответствующих интегралов. Теоретические кривые были рассчитаны по формулам (16).

Таблицы 2

Решение (16) отличается от решения, полученного в работе [2] тем, что оно учитывает деформацию сдвига от крутящего момента. Если в формулах (16) положить m=1 и l→0, то, как раз придем к решению работы [2].

Задача кручения тонкостенных стержней также претерпевает небольшие изменения. Ниже приводится матрица жесткости задачи о кручении, рассчитанная на основе формул (14) и (15).

.

Отличие, как видно, состоит в присутствии множителя m  (от которого также зависит детерминант D и сам параметр l). Ниже приводится сравнительная таблица 3 значений реакций все того же несимметричного двутавра, приведенного в таблице 2 (длина двутавра – 200 см).

Таблица 3

В таблице 4 даны относительные погрешности значений реакций, рассчитанных без учета и с учетом деформации сдвига относительно значений, полученных экспериментальным путем.

Таблица 4

Как видно, максимальную относительную погрешность удалось понизить с 7% до 1%, что может иметь решающее значение в плане соображений, приведенных в преамбуле данной статьи.

Литература

1. Бритвин Е.И., К расчету рамных конструкций, составленных из тонкостенных стержневых элементов / Строительная механика и расчет сооружений, 2016, № 4, С. 43-54.
2. Бритвин Е.И., Формирование матрицы жесткости тонкостенных стержней с учетом влияния деформации сдвига / Строительная механика и расчет сооружений, 2016, № 5, С. 59-65.
3. Власов В.З., Тонкостенные упругие стержни / М.: Физматгиз, 1959, - 574 с.
4. Воробьев Л.Н., Влияние сдвига срединной поверхности на величину деформаций и напряжений в тонкостенных стержнях открытого профиля с недеформированным контуром [Текст] / Л.Н. Воробьев // Тр. Новочеркас. политехн. ин-та. — 1955. — Т. 26 (40).— С. 92–111.
5. Мещеряков В.Б., Развитие теории тонкостенных стержней открытого профиля иее практические приложения [Текст] : дис. … д-ра техн. наук. — М. : МИИЖТ, 1974. — 317 с.
6. Панасенко Н.Н., Юзиков В.П., Синельщиков А.В. Конечно-элементная модель пространственных конструкций из тонкостенных стержней открытого профиля в 2-х частях. Часть 1, Вестник АГТУ. Сер.: Морская техника и технология. 2015. №3, С. 89-100.
7. Сливкер В.И., Строительная механика. Вариационные основы. – М.: Издательство ассоцоации строительных вузов, 2005. – 736 с.
8. Юзиков В.П., Завьялова О.Б. Учет сдвига срединной поверхности при расчете тонкостенных стержней открытого профиля на статические и динамические воздействия. Научный потенциал регионов на службу модернизации. Астрахань: АИСИ, 2011. С. 69-75.