СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА И РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ   ISSN 0039-2383               №1  2017,  с.23-28

УДК 624.044

ФОРМИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ

С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ ДЕФОРМАЦИИ СДВИГА

Е.И.Бритвин, канд. физ.-мат. наук

Принято считать, что деформация сдвига мало влияет на напряженное состояние стержней. Заметным это влияние становится только у достаточно коротких стержней. В то же время, как было показано в ряде исследований, для тонкостенных стержней это влияние может быть весьма существенным уже для стержней средней длины. Как было показано в работе [2], на примере двутавра высотой 24 см и длиной 200 см, погрешность от игнорирования деформаций сдвига в отдельных компонентах матрицы жесткости достигала 43%. В той же работе был продемонстрирован еще более интересный эффект влияния сдвиговых деформаций – появление депланации от поступательного смещения концов стержня. Учитывая, что конечная цель всех этих построений – адаптировать теорию тонкостенных стержней к реальному расчету конструкций, неизбежно возникает задача построения как можно более точной матрицы жесткости тонкостенного стержневого элемента. Проблема точности построения матрицы жесткости становится еще более актуальна в рамках изысканий автора [1], где был предложен полуаналитический метод формирования депланационных компонент реакций узла. Реализация метода, оказалось, напрямую зависимой от точности построения матрицы жесткости отдельного взятого тонкостенного стержня. В этой связи учет влияния  деформации сдвига стал для данной теории критически важным. В работах [4] и [5] приведен алгоритм формирования матрицы жесткости тонкостенных стержней с учетом влияния деформации сдвига. Алгоритм основан на формировании функционала энергии стержня с подбором подходящих аппроксимаций функций деформации. Компоненты матрицы жесткости находятся прямым дифференцированием функционала по концевым перемещениям стержня. В настоящей работе строится матрица жесткости произвольного (несимметричного) тонкостенного стержня на базе точного решения уравнений деформации с учетом сдвигающих усилий, выраженного в квадратурах.

Как было показано в работе [3], полная система уравнений деформации тонкостенного стержня с учетом деформации сдвига, имеет вид

                                       (1)

Здесь z(z) - продольные перемещения центра тяжести сечения,  x(z), h(z) - поперечные перемещения точек, расположенных на оси, проходящей через центр изгиба сечения соответственно, вдоль главных осей сечения x и y; θ(z) - угол поворота сечения вокруг продольной оси; N, Q_x и Q_y – продольная и поперечные силы в сечении; M_w – часть крутящего момента, ответственная за стесненное кручение; F – площадь поперечного сечения; J_xx и J_yy - моменты инерции, вычисленные относительно главных осей (индексы соответствуют подынтегральным выражениям при вычислении моментов); J_d –момент инерции свободного кручения; J_ww - секториальный момент инерции, вычисленный относительно центра изгиба; коэффициенты k_sr – коэффициенты сдвига (см. [3]); q_x, q_y и m_z – распределенная нагрузка, приложенная вдоль оси, проходящей через центр изгиба и распределенный крутящий момент.

Если положить и , то, решая совместно последние два уравнения (1), имеем

     (2)

где,  и , а q₀, M_w0 и q_l, M_wl – значения угла закручивания и крутящего момента M_w в начале и конце стержня. Используя представление депланации  (см.[3]), выразим моменты M_w0 и M_wl через значения депланации в начале и конце стержня d₀ и d_l:

                    (3)

(здесь  и ). Вычислим полный момент кручения M_z и бимомент B_w по формулам M_z = GJ_dθ′+M_w  и  B_w = -EJ_wwd′

Откуда, на концах стержня, получаем

   (4)

Перейдем к решению второго и третьего уравнений (1). Поскольку в нашем случае также и , второе и третье уравнения (1) приобретают простой вид

                                                                             (5)

При этом надо учесть, что наличие перерезывающих сил создает постоянный сдвиг по длине стержня, выражающийся в дополнительном угле поворота сечений: для переменной x - , для  переменной h - . Кроме того, дополнительный сдвиг возникает и от действия крутящего момента M_w (это видно из структуры уравнений (1)). Для переменной x он составляет: в начале стержня , в конце - . И, соответственно, для переменной h -  и . Ситуация с углами ψ не столь очевидна, как с углами a_y и a_x, но анализ показывает, что только при таком допущении можно получить симметричную по всем компонентам матрицу жесткости стержня. Таким образом, уравнения (5) надо решить при граничных условиях x(0)=x₀, x(l)=x_l, x’(0)=j₀+a_y+ψ_y0, x’(l)=j₀+a_y+ψ_yl и h(0)=h₀, h(l)=h_l, h’(0)=-f₀+a_x+ψ_x0, h’(l)=-f₀+a_x+ψ_xl.

Проинтегрируем уравнения (5) при заданных граничных условиях и вычислим значения перерезывающих сил по формулам (см. [3])

В результате имеем

                                        (6)

где

                                   (7)

Подставляя в (6) выражения для a_x, a_y и a_ω, приходим к системе двух уравнений относительно Q_x и Q_y. Решение этой системы уравнений имеет вид:

                                                          (8)

где

                  (9)

Изгибающие моменты определим по формулам (см. [3])

И, соответственно, в начале и конце стержня получаем:

           (10)

Выражения (4), (7), (8), (10) дают возможность сформировать матрицу жесткости стержня. Процедура вычисления коэффициентов матрицы достаточно громоздка. Мы приведем окончательный результат. Представим матрицу жесткости в виде клеточной матрицы

Матрица

Матрица

Матрица

Матрица

Теперь осталось сделать последний шаг – надо привести матрицу реакций к главным осям сечения. Если центр изгиба совпадает с центом тяжести сечения, то построенная выше матрица как раз и является решением проблемы. Если центр изгиба не совпадает с центом тяжести, необходимо привести матрицу жесткости элемента к главным осям координат сечения. Пусть u_x, u_y, u_z, j_x, j_y, j_z – перемещения точки, лежащей на оси, проходящей через центр тяжести сечения. Если a_x и a_y  – координаты центра изгиба относительно главных осей, то справедливы следующие соотношения:

Таким образом, матрица преобразования от переменных (u_x, u_y, u_z, j_x, j_y, j_z, d)  к  (x, h, ζ, f, j, q, d) будет имеет вид (d - депланация сечения)

.

Умножая клетки матрицы жесткости стержня слева на транспонированную  матрицу Â^* и справа на матрицу Â, получаем искомую матрицу единичных реакций стержня в системе переменных (u_x, u_y, u_z, j_x, j_y, j_z, d)

.

Литература:

1. Бритвин Е.И., К расчету рамных конструкций, составленных из тонкостенных стержневых элементов / Строительная механика и расчет сооружений, 2016, № 4, С. 43-54.
2. Бритвин Е.И., Влияние деформации сдвига на изгиб и кручение тонкостенных стержней. Строительная механика и расчет сооружений, 2016. №5. С. 59-65.
3. Бритвин Е.И., Уравнения деформации тонкостенных стержней открытого профиля с учетом деформации сдвига, 2017. №2. С. 44-51
4. Панасенко Н.Н., Юзиков В.П., Синельщиков А.В., Конечно-элементная модель пространственных конструкций из тонкостенных стержней открытого профиля в 2-х частях. Часть 1, Вестник АГТУ. Сер.: Морская техника и технология. 2015. №3, С. 89-100.
5. Юзиков В.П., Завьялова О.Б., Учет сдвига срединной поверхности при расчете тонкостенных стержней открытого профиля на статические и динамические воздействия. Научный потенциал регионов на службу модернизации. Астрахань: АИСИ, 2011. С. 69-75.