3.2.4. Проверка устойчивости стержневых конструкций

Согласно сложившемуся в настоящее время представлению о природе потери устойчивости стержневых систем, причиной того, что стержневые элементы конструкций теряют устойчивость при продольных усилиях меньших, чем это предсказывает теория Эйлера, является наличие малых начальных случайных искривлений и эксцентриситетов при прикреплении стержней. Поэтому, даже если стержень центрально сжат, в нем возникают изгибающие моменты и, если фибровые напряжения в какой-то момент превышают предел текучести материала, процесс потери устойчивости начинает развиваться с катастрофической скоростью. Если предположить, что начальное искривление меняется по синусоидальному закону, нетрудно получить формулу для предельного значения сжимающей силы, при которой в крайней фибре стержня появляется расчетное напряжение R_y

(1)

где A – площадь поперечного сечения стержня, а j – коэффициент, вычисляемый по формуле

(2)

где - относительный начальный эксцентриситет и - приведенная гибкость стержня, y₀ – стрела погиби стержня, W – момент сопротивления сечения.

Таким образом, если бы был известен предельный начальный эксцентриситет стержня, по формуле (1) можно было бы вычислить предельное значение продольной силы, непревышение которой гарантирует отсутствие пластических деформаций. В европейских (Eurocode 3), американских, израильских и других нормах для вычисления коэффициента j используется непосредственно формула (2). Разница состоит только в нормировании эксцентриситета. Как правило, принимается линейная зависимость эксцентриситета от гибкости

где коэффициент a зависит от типа сечения и расчетного сопротивления.

В российских нормах (СНиП II-23-81) нормируется непосредственно коэффициент j:

где .

Однако, насколько бы ни была сложная зависимость , всегда можно, обратив формулу (2), получить зависимость для

(3)

Этот факт дает возможность проверить устойчивость стержневой конструкции следующим образом – введем в стержни погиби, амплитуды которых определены формулой (3), и рассчитаем конструкцию по деформированной схеме (расчет по деформированной схеме необходим, поскольку величина погиби существенно зависит от продольной силы).

Стержни можно включить в конструкцию двумя способами: сопрягая углы поворота стержней в узлах (такая форма соединения стержней характерна, например, для соединений на болтах) и не сопрягая углы поворота (такая форма включения стержней, скорее всего, будет свойственна для сварных соединений). Включение стержней по схеме с сопряжением углов поворота можно представить следующим образом: на узлы конструкции накладываются связи, препятствующие поворотам; перед присоединением каждый стержень выгибается так, чтобы все его точки лежали на прямой линии – в таком виде стержень монтируется в систему; после того, как вся система смонтирована, убираются лишние связи, наложенные на узлы. Основная проблема при этом состоит в задании направлений погибей для различных стержней. В программе эта проблема решается следующим образом:

строится форма потери устойчивости конструкции (линейный расчет);
направления погибей стержней выбираются таким образом, чтобы при включении стержней по схеме с “сопряжением углов поворота”, работа сопрягающих моментов на перемещениях формы потери устойчивости была наибольшей.

Построенная таким образом конфигурация погибей не гарантирует наихудшее с точки зрения напряжений состояние конструкции. Поэтому программа делает еще один расчет по деформированной схеме с обратным направлением погибей по отношению к определенным на предыдущей стадии. Затем программа выполняет серию расчетов по деформированной схеме (число расчетов определяет пользователь), генерируя знаки и значения амплитуд погибей случайным образом. Величина погиби (эксцентриситета) формируется как случайная величина, распределенная по нормальному закону в интервале [0,X] (X – предельное значение погиби или эксцентриситета, определяемые в соответствии с изложенной выше методикой для каждого стержня в отдельности) с центром в точке X/2 и стандартом X/5 (величина стандарта X/5 выбрана произвольно – исследования показали, что результат мало зависит от величины стандарта). В результате для сформированной выборки программа вычисляет для каждого стержня математическое ожидание (среднее значение по выборке) напряжения от продольной силы, математические ожидания и стандарты отклонения верхнего и нижнего фибровых напряжений, максимальные и минимальные значения верхнего и нижнего фибровых напряжений. В программе также предусмотрен режим, позволяющий получить верхние и нижние фибровые напряжений в стержнях с вероятностью превышения 95%, 99% и 99.9%.